一.最短路径的最优子结构性质

   该性质描述为：如果P(i,j)={Vi....Vk..Vs...Vj}是从顶点i到j的最短路径，k和s是这条路径上的一个中间顶点，那么P(k,s)必定是从k到s的最短路径。下面证明该性质的正确性。

   假设P(i,j)={Vi....Vk..Vs...Vj}是从顶点i到j的最短路径，则有P(i,j)=P(i,k)+P(k,s)+P(s,j)。而P(k,s)不是从k到s的最短距离，那么必定存在另一条从k到s的最短路径P'(k,s)，那么P'(i,j)=P(i,k)+P'(k,s)+P(s,j)<P(i,j)。则与P(i,j)是从i到j的最短路径相矛盾。因此该性质得证。

二. Dijkstra算法

    Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的最短路径路由算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。

先给出一个无向图

用Dijkstra算法找出以A为起点的单源最短路径步骤如下

三. 代码

Java

static int[] testDijkstra(int n,int v,int[] dist,int[] prev,int[][] c){    int maxnum = 100;  int maxint = 999999;    boolean[] s = new boolean[maxnum];    // 判断是否已存入该点到S集合中  for(int i=1; i<=n; ++i)  {   dist[i] = c[v][i];   s[i] = false;     // 初始都未用过该点   if(dist[i] == maxint)    prev[i] = 0;   else    prev[i] = v;  }  dist[v] = 0;  s[v] = true;    // 依次将未放入S集合的结点中，取dist[]最小值的结点，放入结合S中  // 一旦S包含了所有V中顶点，dist就记录了从源点到所有其他顶点之间的最短路径长度          // 注意是从第二个节点开始，第一个为源点  for(int i=2; i<=n; ++i)  {   int tmp = maxint;   int u = v;   // 找出当前未使用的点j的dist[j]最小值   for(int j=1; j<=n; ++j)    if((!s[j]) && dist[j]